羅傑．潘洛斯的科學貢獻與研究精神
陳宏賓／UniMath 創辦人，國立中興大學應用數學系助理教授。喜愛組合數學相關領域，研究興趣為群試理論、圖論及最優化分解。2015 年創立 UniMath 電子數學媒體向大眾宣傳數學。
黑洞話題近幾年頻繁躍上媒體版面。2015 年 9 月，位於美國的雷射干涉儀重力波觀測站（Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory, LIGO）首度觀察到來自一場黑洞合併所引起的重力波，感應到距離我們非常遙遠的黑洞彼此碰撞而產生的顫動。2019 年 4 月 10 日，來自世界各大洲的眾多天文科研單位在全球同步發表了人類史上首張黑洞「照片」，讓我們得以看見鄰近星系中心 M87 的超大質量黑洞的輪廓。
2020 年的諾貝爾物理學獎授予三位科學家，表揚他們在間接證實黑洞存在的早期相關工作。其中英國數學物理學家潘洛斯於 1965 年發表的論文獲得了一半的獎，該論文證明「黑洞是廣義相對論的直接結果」。另一半獎項則是由天體物理學家根策（Reinhard Genzel）和吉茲（Andrea Ghez）共同獲得，他們在銀河系中心發現一個具有超大質量但卻不可見的東西拉著附近星體運行的軌跡，而黑洞正是目前人類知識範圍內唯一的解釋。這兩項工作都為黑洞的存在提供了更多證據。
潘洛斯證明黑洞的產生並非偶然
過去牛頓發展萬有引力理論時，人們知道任何具有質量的東西都會受到重力吸引，當時就曾有天文學家提出是否存在巨大到連光都無法逃離的天體巨獸的想法，不過，當時科學家並不確定光是否具有質量，更不知道光會不會受到重力影響。直到愛因斯坦的廣義相對論問世後，德國數學家史瓦西（Karl Schwarzschild）就發現描述愛因斯坦重力場方程式的奇異點，也就是說在廣義相對論的架構上允許某質點擁有無限的密度，因此理論上黑洞可能存在。
黑洞是一種在狹小的空間中包含大量物質的區域，以至於重力產生了失控效應：物質朝著巨大密度的奇異點坍塌。在奇異點一定距離內的所有物體都會被重力束縛，注定會向黑洞深處掉落，甚至穿過黑洞表面，也就是所謂的事件視界（event horizon）的光也會被吸收。黑洞的事件視界內部無法觀察，沒人知道那裡面發生了什麼事，一旦掉落事件視界沒有任何物質能夠回到黑洞外面，既然黑洞中心連光都出不來而無法觀察，科學家是怎麼找到黑洞呢？關鍵就在前面說的黑洞特徵：巨大的質量和重力失控。
我們所在銀河系中心存在黑洞的第一個跡象是在 1931 年發現的，當年美國物理學家詹斯基（Karl Jansky）觀察到了來自離地球非常遙遠的射手座星座的無線電信號，其信號之強，唯一的解釋是來自質量巨大的天體。
潘洛斯於 1965 年證明了黑洞在宇宙中形成是無可避免的：「偏離球面對稱性無法阻止時空奇異點的產生。」換句話說，即使恆星扭曲了，它仍然會坍塌到一定程度，進而形成黑洞。這也直接表明了黑洞是廣義相對論重力場方程的直接結果。
潘洛斯還有許多數學貢獻
除了黑洞研究之外，從數學人的角度來說，潘洛斯在數學方面的成就也許更為人所知，例如潘洛斯三角形（Penrose triangle）和潘洛斯平舖（Penrose tiling）等。
潘洛斯三角形是一種形狀特殊的三維幾何圖形，由三個長方體圍成三角形，運用錯覺巧妙地讓邊與邊看起來在三維中都是直角，產生空間中應有高低差卻又連在一起的不思議景象。而在科幻電影《全面啟動》（Inception）中出現的潘洛斯階梯（Penrose stairs）就是潘洛斯三角形的應用，當你爬著樓梯一層又一層往上時，最後卻發現繞回原點的視覺衝擊非常具有科幻感。
▲潘洛斯階梯是潘洛斯三角形的一種應用。該階梯營造出不斷往上後卻會回到原點的錯覺。圖片提供／《科學月刊》，圖片來源／Sakurambo, public domain, Wikimedia Commons
而潘洛斯平舖是指如右頁上圖中兩個簡單的幾何形狀，當並排放置時，能以沒有間隙或重疊的方式覆蓋整個平面，並且不會出現週期性重複。這裡的「非週期性重複」指的是將整個平舖在不旋轉的情況下移動任意有限距離後，絕不會產生相同的平舖。相反的，在某些古早味地板上發現的簡單六角形瓷磚圖案，表現出來的就是簡單的週期性重複平舖。有趣的是，以潘洛斯命名的潘洛斯平舖具有五重旋轉對稱性，與五角星表現出的對稱性相同。就是說你將整個圖塊圖案旋轉 72 度後，看起來和原始的一樣。
在潘洛斯發現之前，大多數科學家都認為不可能找到具有五重對稱性的晶體，但此後不久便發現了類似於潘洛斯平舖圖案的準晶體，而且還具有很好的特性，例如熱傳導差，還可以用來作光滑的不黏塗層。在 1980 年代初期，開始有科學家懷疑某些晶體的原子結構可能是非週期性晶格。在 1982 年，以色列材料科學家謝赫特曼（Dan Shechtman）在電子顯微照片中發現了一種鋁錳合金的非週期性結構，具有明顯的五重對稱性，這讓人聯想到潘洛斯平舖。
潘洛斯平舖之所以讓他的名字更廣為人知，是因為比起看不見的黑洞，一般人更有機會在日常生活中不經意地接觸它，例如在講究的大樓地板上或是在伊斯蘭建築窗花設計中，甚至是衛生紙的紋路都有可能發現。另一件有趣的事是，潘洛斯曾經在 1997 年對一家英國公司提起了版權訴訟，理由是該公司涉嫌在衛生紙上壓印潘洛斯平舖的圖案。在 2007 年時，兩位研究人員在《科學》（Science）發表了中世紀伊斯蘭藝術中一種類似潘洛斯平鋪的證據，比潘洛斯早了 500 年。
▲圖為具有五重旋轉對稱性的潘洛斯平舖。圖片提供／《科學月刊》，圖片來源／Inductiveload, public domain, Wikimedia Commons
貴為諾貝爾得獎者 其實並非從小就是天才
作為一位榮獲諾貝爾獎的數學物理學家，你可能會認為潘洛斯一定是個從小數學就很好的學生。其實，若用成績的角度來衡量數學好不好，事情恰好相反。潘洛斯在一次訪談中透露了一段小時候的往事，值得我們思考。
潘洛斯回憶道：「我傾向於用自己的方法做事。二戰期間我正在加拿大念小學，而當時我的表現非常遲鈍。如果你看我的數學考試成績，會發現其實我的分數並不高，我還甚至曾經因為心算表現太差而被降到低年級。但當時有一位非常優秀且觀察力很好的老師發現，如果給我足夠的時間，我的考試成績就能表現地更好。因此他在考試時跟我說：『雖然我通常會要求大家必須在固定的時段裡寫完，但這次你想要延多長時間都沒問題。』
在這樣的安排下，我就可以堅持不懈地作答。即使答題過程已經到了遊戲時間，同學們都在外面玩樂，我還是會堅持繼續寫考卷。有時甚至已經到了下一堂課，我仍舊持續不斷作答。而最終我會得到如 98 分之類不錯的成績。
我想會有這樣的結果，原因在於我並不擅長記憶東西。因此不管是在課堂上或是別的領域，我總是會試圖靠自己尋找解答。雖然這種方法並不適合用在學校的考試，但這份特質在未來卻能正好派上用場，讓我得以用自己的方式思考事情，而不是只憑藉書本或制式的方式學習。」
經由這段回憶能讓我們反思，大家習以為常衡量成績與學習方式，或許並非適合所有的學生，真正好的教育，應當採用因材施教的方式。
延伸閱讀
1. Natalie Wolchover, Physics Nobel Awarded for Black Hole Breakthroughs,QuantaMagazine, 2020.
2. 余海峯 David，【2020 諾貝爾物理學獎】廣義相對論與宇宙最黑暗秘密，物理喵 phycat，2020 年 10 月 12 日。
3. Clifford A. Pickover, The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling, 2011.
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本文轉載、修改自《科學月刊》2020 年 12 月
