如何解決相機、顯微鏡的球面像差？
洪連輝／彰化師範大學物理學系特聘教授，專長為磁性材料、超導實驗、大眾科學教育。
（本篇圖片皆由作者提供）
✤ 在真實狀況下，平行光源在透鏡邊緣有較明顯的折射，因此會聚焦在比理想焦點更靠近透鏡的位置，造成像差。
✤ 消除像差的方式有許多種，例如增加透鏡數量、提高透鏡的折射率、設計透鏡面的形狀、採用非球面透鏡等。
✤ 顯微鏡中的目鏡及物鏡皆為多個透鏡組成，經過兩次放大我們就可以看到許多微小物體，愈高級的顯微鏡會有愈複雜的光學系統。
現代光電產業蓬勃發展，許多產品都會運用到光學透鏡元件，例如手機鏡頭、掃描器、顯微鏡、望遠鏡等，透鏡的好壞將影響到產品的品質及功能。在實際的光學系統中，由於亮度、透鏡品質、光學設計等因素，將使得實際成像與理想成像有些出入而產生「像差」，也就是透鏡出現的影像與理想的影像有所差異。像差會出現在各種鏡頭或透鏡中，進而造成影像畫面失焦、模糊等問題，影響影像的品質。
透過一個日常生活中的簡單小實驗，其實就可以看出像差對於成像的影響。讀者們可以在家中日光燈下放置一個凸透鏡，藉由調整透鏡的位置使日光燈在桌上的白紙成像（圖一）。從圖一可以清楚看出日光燈的上下兩端比較模糊且扭曲，不過桌上的成像可以告訴我們什麼訊息呢？對早期的科學家而言，顯微鏡或天文望遠鏡因為鏡頭造成的像差，使得觀測受到一定程度的影響，如同實驗成像被扭曲了一樣。若能了解透鏡的成像原理，就可以運用光學設計使像差的影響降到最低。
▲圖一：在日光燈（左）下放置一個凸透鏡，調整透鏡的位置使日光燈在桌上的白紙成像後可以清楚看出日光燈兩端比較模糊且扭曲（右）。
透鏡產生球面像差的原因
單一透鏡成像產生像差的原因可分為與光線波長有關的色像差，以及與光線波長無關的單色像差兩種。色像差是由於各種波長的光進入不同光學材質的透鏡，在折射率不同的情況下造成的像差，例如白光穿過三稜鏡後產生的彩色光，這種在複合光（如白光）照射下的色散現象而產生的像差就被稱為「色像差」；至於單色像差則是由單色光造成，常見的有球差、彗星像差、畸變像差、場曲像差等。
▲圖二
因為球面透鏡的製作成本較低，因此有許多透鏡的形狀都採用球面。首先可以從單個球面造成的像差開始了解（圖二），假設球面的曲率半徑為 R，球面上任一點 E 與圓心 C 的連線為 E 點法線，其中通過 O 點的黑色直線稱為光軸。光線由介質 1 入射到介質 2，球面界面兩邊的折射率分別為 n1、n2，光線發生折射偏折時可由司乃耳定律（Snell’s law）描述：
要決定光束經過光學系統的成像效果時，可以用司乃耳定律追蹤每條光束經過數個介質光學系統後的影像情況。若在 A 點發出的光線與光軸的夾角為 α，經過球面 E 點後遵守司乃耳定律在折射後於右邊介質的光軸截距 A’ 點成像。對於在相同物距的同一個點光源 A，若是發出光線的夾角不同，經過球面 E’ 點後在右邊的光軸截距也不一樣（圖二紅線和藍線），因此即使是同一個物體 A 發出的光線也不會聚焦在同一個像點。
若 A 點發出的光與光軸的夾角 α 非常小時（約 5° 以內），θ1、θ2、β 都會非常小，相應的正弦值可以用弧度表示，也就是 sinθ 近似於 θ，稱為近軸近似（paraxial approximation）。這種光線在光軸附近的光稱為「近軸光」，對於同一個點光源 A 而言，滿足近軸近似的光線，只要物距相同，不管發出光線的 α 角度怎麼變化，在右邊光軸的成像位置幾乎相等且無法用眼睛分辨。因此我們可以認為在近軸近似下，A 點經過單個球面折射能滿足近似的理想成像，光線將會聚焦在同一個像點。總結來說，近軸光可以達到理想成像，非近軸光則不能滿足理想成像，而兩者之間的成像差異便就造成了光學系統的像差。
▲圖三
透鏡的球面像差（簡稱球差）是指光線經過透鏡後不能如理論般完全聚焦於同一點上（圖三）。A 為物點，從 A 點發出的近軸光，經過透鏡後將成像在 A’，也就是理想像點。從 A 點發出來的非近軸光（圖三紅線）經過透鏡折射後會匯聚在 A1’ 上，另外一條光線（圖三藍線）經過透鏡折射以後成像在 A2’ 點上。這三條光線將分別有各自的成像像點而不會匯聚在一起，這些像點與理想像點間的差異就產生了所謂的球差，當A點發出的光線與光軸的夾角愈大時球差也愈大。
減少球差、避免影像失真的方法
我們曾在課本中學過，平行光源經過一個凸透鏡後會聚焦在同一點上，此點又稱為焦點，這就是理想成像（圖四 a）。但真實狀況並非如此，由於光線在透鏡邊緣會有比較明顯的折射，因此會聚焦在比理想焦點更靠近透鏡的位置，所以聚焦位置其實只能形成一個區域，而非真正聚焦在同一點（圖四 b）。像這樣的球面像差因為沒有一個明確的焦點位置，將會造成聚焦困難。例如，若要用放大鏡將太陽光匯聚成一點就是不可能的。如果在光學系統設計時沒有適當消除像差，那麼原始影像在經過數個透鏡後便會失真得愈來愈嚴重。但要怎麼減少或補償球差呢？
▲圖四
由於光學系統中存在一些非近軸的光線，這些光線經過透鏡的入射角比較大，在入射角大時就無法產生理想成像，因而帶來了像差。為了減少光學系統的像差，必須想辦法減少每個面光線的入射角。因此第一種減少球差的方法就是在保證焦點不變的情況下，合理的增加透鏡數目使得透鏡的曲率半徑變大，減小每個光學面上的入射角。例如圖五是由單透鏡、雙透鏡、三透鏡組成的光學系統。假設三者的焦距相等，那麼第一個透鏡的曲率半徑會最小、形狀較凸，使得光線進到透鏡表面後的入射角比較大，這樣系統的球差就會偏大。藉由增加透鏡數量可以使每個透鏡的曲率半徑變大、減少在每個面上光線的入射角，進而減小整個系統的球差值，但這樣也會增加此系統的製作難度和成本。因此在成本考量下，只能增加有限的透鏡數目。
第二個減少球差的方法就是在焦點不變的情況下，提高透鏡材質的折射率。當透鏡的折射率變大且焦距不變時，透鏡的曲率半徑會變大、入射角減小，有助於減小球差。
▲圖五：在保證焦點不變的情況下合理的增加透鏡數目使透鏡的曲率半徑變大，減小每個光學面上的入射角。
減小球差的第三個方法是合理設計透鏡面的形狀。當兩個透鏡焦距相同，透鏡的兩個面都會讓光線偏向光軸（圖六 a）；而如果透鏡的第一個面為凹面第二個則是凸面（圖六 b），為了保持焦距相同，透鏡的第二面需要更加凸，造成光線在透鏡的邊緣折射得較為明顯，因而產生更大的球差。因此合理設計透鏡面的形狀，也可以減小成像的球差值。
▲圖六
第四個方法是採用非球面。當透鏡的邊緣光線與近軸光線並未匯聚在一起，邊緣光線匯聚在理想像點前，因而產生球差時（圖七 a），若是藉由改變透鏡面上每一點的曲率半徑使光線都聚焦到理想像點上，就可以形成一個「非球面透鏡」矯正球差（圖七 b）。但是非球面透鏡的加工檢測難度將高於普通球面透鏡。
▲圖七：改變透鏡面上每一點的曲率半徑使光線都聚焦到理想像點上，就可以形成非球面透鏡以矯正球差。
以更精密的光學儀器消除像差干擾
除了球差外，彗星像差（簡稱彗差）是指形狀類似彗星的像差。當非平行光軸的光入射透鏡時，在焦平面上不會再聚成一點，而是擴散成類似彗星移動時拖曳著尾巴的情況，就被稱為彗差。我們可以透過選擇適當的透鏡表面曲率，有效降低、甚至消除彗差。而畸變像差會使成像呈現不規則扭曲，使物體的成像失真；這類型的影像有時是中間扭曲比較嚴重，有時則是邊緣扭曲得比較嚴重。最後，場曲像差則是因為凸透鏡聚焦在一個曲面上，使得最後投影時產生像差。
照相機、顯微鏡、望遠鏡等光學儀器都是由許多透鏡組合而成，教科書裡談到的原理較為簡單，如光學顯微鏡原理（圖八 a）。光學顯微鏡是由兩個透鏡所組成，靠近眼睛的凸透鏡稱為目鏡，靠近被觀察物體的凸透鏡則是物鏡。一個微小的觀察物體發出或反射的光經過物鏡後會變為一個放大的實像；而目鏡的作用則像是一個普通的放大鏡，將實像再放大一次。經過兩次放大作用，我們就可以看到許多肉眼看不見的小物體。顯微鏡的設計原理並不難，但愈高級的顯微鏡有愈複雜的光學設計系統，例如一臺顯微鏡的構造，基礎元件不外乎目鏡和物鏡，但裡面都還會再加上一些經過光學設計能消除像差的透鏡組（圖八 b）。某些設計得更精密的顯微鏡，還會於鏡筒內部再加上光學透鏡組，目的就是要有效地消除像差，讓被觀察物體的範圍愈大愈清楚，且景深愈深，才能觀測到較為立體的微生物。
▲圖八
對於光學儀器而言，像差會導致觀察者看見的成像扭曲而失真，因此必須使像差減小到肉眼不可分辨的程度。雖然像差不可能百分之百被消除，但現代科學家已經能利用光學透鏡的組合設計，達到縮小像差的目的，使我們可以更清楚的觀察目標物，讓實驗的真相更加清晰。
延伸閱讀
1. Chang, W. L. et al. (2019). The making of a flight feather: bio-architectural principles and adaptation. Cell, 179, 1409–1423.
2. Wu, H. et al. (2021). A quantitative image-based protocol for morphological characterization of cellular solids in feather shafts. STAR Protocols, 2, 100661.
3. Wang, S. et al. (2020). Variations of Mesozoic feathers: Insights from the morphogenesis of extant feather rachises. Evolution, 74, 2121–2133.
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本文轉載、修改自《科學月刊》2023 年 5 月
